RESUMO

            Neste serão apresentados explicativos sobre o que é, no que se baseiam e qual a finalidade dos sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico, voltado para um ponto de vista do estudo do eletromagnetismo.

INTRODUCAO

Para determinar a localização de um ponto em qualquer espaço, é necessário que se tenha um ponto de referência, um sistema de análise e uma unidade de medida. No caso, serão apresentados três sistemas de análise: coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.

Segundo Descartes: “O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si. A localização de um ponto P no plano cartesiano é feita pelas coordenadas do plano V (absisa e ordenadas - x, y).Quando se representam duas grandezas diretamente proporcionais num referencial cartesiano, todos os pontos pertencem a uma reta que passa pela origem que se chama vival(ulteral)Nos quadrantes I e III os sinas de x,y são os mesmos (+,+) e (-,-), já nos quadrantes II e IV os sinas de x,y são opostos (-,+) e (+,-), respectivamente.Quadrantes das bissetrizes ímpares ( quadrantes I e III ) Quadrantes das bissetrizes pares ( quadrantes II e IV )”, assim descartes localiza um ponto em um plano bidimensional com relação à outro ponto denominado origem que adere os valores nulos para uma comparação com o ponto à ser descrito, e ainda divide o plano em quatro quadrantes para que se possa analisar o plano por completo.

            Já em uma noção tridimensional onde temos uma noção mais detalhada de espaço, o qual se aproxima mais da visão humana, o autor do site https://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/espaco/espaco.htm sita: “tudo o que nos envolve e é o local onde podemos nos mover para a frente, para o lado e para cima. Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em um ambiente tridimensional. Basta então conhecer as três direções para identificar a posição relativa que ocupamos.” O espaço tridimensional é composto de três dimensões, ou seja, três planos que normalmente são relacionados aos eixos denominados x, y, e z ou i, j, e k; dependendo do autor e da citação. E sempre demonstram as noções de comprimento, largura e altura. Para determinar a localização de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas é necessário que se saiba estas três características.     Existem outras formas de localização no espaço tridimensional como é o caso do sistema de coordenadas cilíndricas, sistema de coordenadas esféricas, dentre outros. Particularmente importantes são os sistemas de coordenadas no plano. O sistema cartesiano plano é um caso particular do sistema cartesiano espacial tridimensional. Ou seja, é preciso analisar cada um dos três planos para se ter uma posição de um ponto.

            Assim como o sistema de coordenadas cartesiano temos no sistema de coordenadas cilíndricas, segundo o site https://pt.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas temos: As coordenadas cilíndricas permitem representar um ponto num espaço tridimensional e são uma generalização das coordenadas polares, bidimensionais, acrescentando uma terceira coordenada: a altura, h.

Assim, um ponto genérico P é dado por (r,θ,h), que em coordenadas cartesianas correspondem a:

• r é à distância de O a P', a projecção ortogonal do ponto P no plano XY. Corresponde à distância de P ao eixo dos zz.
• θ é o ângulo entre a parte positiva do eixo dos xx e a distância de O a P', no sentido contrário aos ponteiros do relógio.
• h é o mesmo que z.” Logo, a localização do ponto de acordo com as medidas de um cilindro, tendo como eixo central o eixo z da altura e como base do cilindro o plano xy, assim é necessário que se saiba o raio deste cilindro, o ângulo que o ponto está no plano xy relacionado ao eixo x denominado “fi” representado pelo símbolo ɸ, e a altura que tem o cilindro, relacionado ao eixo z podendo assim saber onde está o ponto.

            Já o sistema de coordenadas esféricas relaciona a localização do ponto com uma esfera. De acordo com o site https://pt.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas: “O Sistema esférico de coordenadas” é um sistema de referenciamento que permite a localização de um ponto qualquer em um espaço de formato esférico através de um conjunto de três valores, chamados de coordenadas esféricas.

As coordenadas esféricas (r,Θ,Φ) são definidas por:

 ”

Sendo que o ponto de origem, de marco zero de onde será relacionada a comparação para saber onde está localizado o ponto, o centro da esfera. E assim encontramos o raio desta esfera que é a distância da origem até o ponto, também é necessário saber o encontrar o ângulo no plano xy do eixo x ao ponto correspondente que assim como no sistema de coordenadas cilíndricas é correspondido pelo símbolo ɸ, assim como é importante saber o ângulo que parte do eixo z da altura até o ponto, ângulo denominado de “téta” correspondido pelo símbolo ɵ.

2 sistemas de coordenadas

2.1   cartesiana

O sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais e são descritos como: P(x,y,z).

Figura 2.1 sistema de coordenadas cartesiana

Como podemos observar na figura 2.1, o plano criado por Descartes pode ser demonstrado com três eixos o x, o y e o z. Este é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio, os valores de y, a imagem da função. Assim como também o eixo z para atribuições vetorial de forças.               
Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Outra utilidade é a análise de vetores de força em campos eletromagnético e análise de forças em geral, indução de campo gerados por planos e materiais.

2.2   cilíndricas

Pode-se também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema e do ângulo formado pelo eixo x no plano xy e a altura deste ponto representado pelo eixo z. Denotamos P=(r, ɸ,z) onde r é a distância de P a O e ɸ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, e z que demonstra a altura do ponto em relação ao plano xy. Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares, e neste caso cilíndrico pois podemos localizar um ponto descrevendo sua relação de localização como medidas de um cilíndro. Observe a figura 2.2 abaixo:

Figura 2.2 Descritivo do Sistema de plano cilíndrico

Tendo então “r” sendo o raio do cilindro, ɸ sendo o ângulo formado entre o eixo x e o raio no plano xy, e a altura sendo representada pelo eixo z.

2.3   esférico

Em sum sistema de coordenadas esférica baseamo-nos em um plano esférico para encontrar a localização de um ponto como na figura 2.6. Sendo assim correlacionado aos outros sistemas de coordenadas. Logo a esfera tem como ponto central a origem e o plano passando pelo ponto. Temos então o raio “r” que é a distância da origem ao ponto, o ângulo ɵ que é o ângulo formado entre o eixo z e o raio, e o ângulo ɸ que representa o ângulo entre o eixo x e o raio correspondente ao ponto no plano xy.

O sistema de coordenadas esféricas baseia-se na mesma ideia que as coordenadas polares e se utiliza para determinar a posição espacial de um ponto mediante uma distância e dois ângulos.

Observe na figura 2.3, 2.3 e 2.5 abaixo onde se encontram estas coordenadas.

Figura 2.3 Demonstração do raio r

Figura 2.4 Demonstração do ângulo ɸ.

Figura 2.5 Demonstração do ângulo ɵ.

Figura 2.6 Demonstração do Plano esférico

Sendo então localizado o ponto no plano esférico pelas coordenadas P(r,ɵ,ɸ).

2.4   relacão com eletromagnetismo

É necessário observar que no estudo de eletromagnetismo deve ser usado o sistema de coordenadas para o estudo das forças eletromagenéticas geradas por um ou mais pontos ou materiais, para o estudo do volume envolvidos nos materiais e para cálculo de induções e outras influências do eletromagnetismo.

Para tal é necessário estudar os vetores que um ponto, plano ou material que influenciam o espaço estudado.

Logo, podemos observar a existência de vetores na relação entre dois pontos, sendo ele gravidade ou carga elétrica, pois são forças que podem ser indicadas por vetores.

Cada tipo de carga apresenta vetores com indicado na figura 2.7 abaixo:

Figura 2.7 Vetores de uma partícula negativa e outa positiva.

Tais vetores podem ser estudados através dos sistemas de coordenadas Cartesiano, cilíndrico e esférico, de acordo com: o formato do material, com a necessidade do estudo destes vetores.

CONCLUSAO

Existem diversas maneiras de encontrar a localização de um ponto, tendo a opção de encontrar a maneira mais adequada para cada situação, quando relacionado à forças é necessário observar que cada tipo de cálculo em referência ao tipo de material, localização e influências dos pontos relacionados que tem a sua maneira correta de metodologia para encontrar resultantes e distâncias. Assim os sistemas de localização nos auxiliam nas tarefas do dia a dia, nos projetos desde os mais simples aos mais complexos de engenharia e nos sistemas de posicionamento mais diferentes usados, uma vez que nós seres humanos vivemos e precisamos das condições de localização.